Вариационный подход и принцип максимума в теории динамических систем

В статье показана динамика стоимостных показателей рынка цифровых финансовых активов. Предметом исследования являются методы теории чувствительности в задачах оптимального управления нелинейными системами для автоматизированного мониторинга и управления портфелем цифровых финансовых активов и криптовалют. Рассмотрены проблемы моделирования процессов в экономических системах, определена задача оптимального управления в форме системы нелинейных дифференциальных уравнений и оптимизируемого целевого функционала, описаны вариационный метод решения данной задачи, принцип инвариантности нелинейных систем и предоставляемые решением возможности моделирования экономических систем. Анализируется подход к рассмотрению динамики экономических систем на основе принципа максимума. Показано применение подхода для решения задачи оптимизации и к методам управления, имеющим кусочно-непрерывный характер, в условиях неопределенности, присущей экономическим системам. Определены функции чувствительности нелинейных систем. Рассматривается применение теории чувствительности для задач оптимального управления нелинейными системами на примере оценки вектора неизвестных параметров динамической системы. Проводится критический анализ состояния в задачах экономического моделирования с учетом неопределенности, обусловленной социальными и психологическими причинами. Представленный в статье материал показывает возможности использования методов анализа чувствительности к задачам декомпозиции систем и сопутствующим преобразованиям систем дифференциальных уравнений.

математические модели, нелинейные системы, цифровые финансовые активы, моделирование экономических процессов

1. Асеев С. М., Бесов К. О., Кряжимский А. В. Задачи оптимального управления на бесконечном интервале времени в экономике // Успехи математических наук. – 2012. – Т. 67. – Вып. 2. – С. 3–64.

2. Асеев С. М., Кряжимский А. В. Принцип максимума Понтрягина и задачи оптимального экономического роста // Труды МИАН. – 2007. – Т. 257. – С. 3–271.

3. Величенко В. В. О вариационном методе в проблеме инвариантности управляемых систем // Автоматика и телемеханика. – 1972. – № 4. – С. 22–35.

4. Дёмин Н. С., Кулешова Е. В. Управление односекторной экономикой на конечном интервале времени с учетом потребления работодателей // Автоматика и телемеханика. – 2008. – № 9. – С. 140–155.

5. Емельянов С. В., Коровин С. К. Скользящие режимы высших порядков в системах автоматического управления // Сборник трудов ИСА РАН. – 1993. – Вып. 2. – С. 39–70.

6. Емельянов С. В., Коровин С. К., Мамедов И. Г., Носов А. Н. Асимптотическая инвариантность в задачах управления неопределенными объектами // Доклады АН СССР. – 1990. – Т. 301. – № 1. – С. 44–49.

7. Емельянов С. В., Коровин С. К., Мамедов И. Г., Носов А. Н. Асимптотическая инвариантность систем управления с запаздыванием // Дифференциальные уравнения. – 1991. – Т. 27. – № 3. – С. 415–427.

8. Кочетков С. А., Уткин В. А. Инвариантность в системах с несогласованными возмущениями // Автоматика и телемеханика. – 2013. – № 7. – С. 46–83.

9. Краснова С. А., Уткин В. А., Уткин А. В. Блочный подход к анализу и синтезу инвариантных нелинейных систем слежения // Автоматика и телемеханика. – 2017. – № 12. – С. 26–53.

10. Красовский А. А., Тарасьев А. М. Построение нелинейных регуляторов в моделях экономического роста // Труды института математики и механики УрО РАН. – 2009. – Т. 15. – № 13. – С. 127–138.

11. Красовский А. А., Тарасьев А. М. Свойства гамильтоновых систем и принципа максимума Понтрягина для задач экономического роста // Труды МИАН. – 2008. – Т. 262. – С. 127–145.

12. Майоров Е. В., Алексеева Т. Анализ моделей нелинейной динамики экономических процессов средствами системы MATLAB // Научно-технические ведомости СПбГПУ. Экономические науки. – 2014. – № 2 (192). – С. 200–205.

13. Матросов В. В., Шалфеев В. Д. Моделирование экономических и финансовых циклов: генерация и синхронизация // Известия высших учебных заведений. Прикладная нелинейная динамика. – 2021. – Т. 29. – № 4. – С. 127–138.

14. Моисеев Н. Н. Численные методы в теории оптимальных систем. – М. : ЛЕНАНД, 2020.

15. Параев Ю. И., Полуэктова К. О. Оптимальное управление односекторной экономикой при случайном изменении основного капитала и трудовых ресурсов // Автоматика и телемеханика. – 2020. – № 4. – С. 162–172.

16. Петров Б. Н. Избранные труды. – Т. 1. Теория автоматического управления. – М. : Наука, 1983.

17. Понтрягин Л. С., Болтянский В. Г., Гамкрелидзе Р. В., Мищенко Е. Ф. Математическая теория оптимальных процессов. – М. : Наука, 1983.

18. Розенвассер Е. Н., Юсупов Р. М. Чувствительность систем управления. – М. : Наука, 1981.

19. Розоноэр Л. И. Вариационный подход к проблеме инвариантности систем автоматического управления. I, II // Автоматика и телемеханика. – 1963. – I – № 6. – С. 744–756; II – № 7. – С. 861–670.

20. Современные методы проектирования систем автоматического управления. Анализ и синтез / под общ. ред. Б. Н. Петрова, В. В. Солодовникова, Ю. И. Топчеева. – М. : Машиностроение, 1967.

21. Техническая кибернетика. Теория автоматического регулирования. – Кн. 2. Анализ и синтез линейных непрерывных и дискретных систем автоматического регулирования / под ред. В. В. Солодовникова. – М. : Машиностроение, 1967.

22. Томович Р., Вукобратович М. Общая теория чувствительности. – М. : Советское радио, 1972.

23. Уткин А. В., Уткин В. А. Синтез систем стабилизации при односторонних ограничениях на управляющие воздействия // Проблемы управления. – 2020. – № 3. – С. 3–13.

24. Уткин В. И., Орлов Ю. В. Системы управления с векторными реле // Автоматика и телемеханика. – 2019. – № 9. – С. 143–155.

25. Чувствительность автоматических систем : труды Международного симпозиума по чувствительным системам автоматического управления (Дубровник, сентябрь 1964) / отв. ред. Я. З. Цыпкина. – М. : Наука, 1968.

26. Blot J., Chebbi H. Discrete Time Pontryagin Principles with Infinite Horizon // Journal of Mathematical Analysis and Applications. – 2000. – N 246. – P. 265–279.

27. Craven B. D. Optimal Control on an Infinite Domain // ANZIAMJ. – 2005. – N 47. – P. 143–153.

28. Maliar L., Maliar S., Winant P. Deep Learning for Solving Dynamic Economic Models // Journal of Monetary Economics. – 2021. – N 122. – P. 76–101.

29. Pereira F. L., da Silva G. N. Necessary Conditions of Optimality for Constrained Infinite Horizon Differential Inclusions // 5th International Conference on Physics and Control (PhysCon 2011). – Leon, Spain, 2011.

30. Perevoznikov E., Lomteva E. Modeling of Economic Processes, Instability and Chaos // Journal of Applied Mathematics and Physics. – 2019. – N 7. – P. 356–363.

31. Seierstad A. A. Maximum Principle for Smooth Infinite Horizon Optimal Control Problems with State Constraints and with Terminal Constraints at Infinity // Open Journal of Optimization. – 2015. – N 4. – P. 100–130.

32. Special Issue on Sensitivity // Journal of the Franklin Institute. – 1981. – Vol. 312. – N 3-4. – P. 141–216.